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La parabole qui descend l’escalier !

mardi 26 juin 2012 par Monna LOUIS

Dans cet exercice, une parabole descend les marches d’un grand palais !
Vous pouvez réaliser ce projet sur un fichier géospace et piloter l’animation comme le montre le diaporama ci-contre, cliquez :

La version film

La parabole en action

A vos crayons...
Voici une petite aide sous forme de questionnaire qui guidera votre recherche, mais attention, vous pouvez utiliser d’autres méthodes et obtenir le résultat souhaité :

Quelle est la largeur de la première marche ?  \sqrt{\frac{b}{a}}  \sqrt{|\frac{b}{a}| }  2\sqrt{|\frac{b}{a}| }  2\sqrt{|\frac{b+c}{a}| }

Quelle est la largeur de la deuxième marche ?

 \sqrt{\frac{b}{a}}
 \sqrt{|\frac{b}{a}| }
 2\sqrt{|\frac{b}{a}| }
 2\sqrt{|\frac{b+c}{a}| }

Quelle est la largeur de la troisième marche ?

 \sqrt{\frac{b}{a} }
 \sqrt{|\frac{b}{a}| }
 2\sqrt{|\frac{b}{a}|(\frac{b+c}{b})^2 }
 \sqrt{|\frac{b}{a}|(\frac{b+c}{b})^2 }

Quelle est la largeur de la énième marche ?

 \sqrt{|\frac{b}{a}|^n }
 \sqrt{|\frac{b}{a}|(\frac{b+c}{b})^n }
  2\sqrt{|\frac{b}{a}|(\frac{b+c}{b})^n }
 2\sqrt{|\frac{b}{a}|(\frac{b+c}{b})^{n-1}}

Pour simplifier la construction, il est intéressant de changer
de repère de telle sorte que la parabole garde toujours l’axe (oz)
pour axe de symétrie et une hauteur égale à b.
Quelles sont les coordonnées de l’origine o1(bord de la 2ème
marche) dans le premier repère ?

(-\sqrt{|\frac{b}{a}|} ; -c)
(2\sqrt{|\frac{b+c}{a}|} ; -c)
(-\sqrt{|\frac{b+c}{a}|} ; c)

Quelle est alors l’expression de la fonction parabolique de
la deuxième marche ?

 {f}_1(x)=a(\frac{b}{b+c})^{2}x^{2}+b
 {f}_1(x)=a(\frac{b}{b+c})x^{2}+b
 {f}_1(x)=(\frac{b}{b+c})x^{2}+b

Réalisation mathématique du projet


Une première approche :

A ce stade de la réflexion l’équation de la parabole sur la marche
d’indice n est : zn=fn(x) = a(\frac{b}{b+c})^{n} x^2 + b ;
en posant (un) la suite géométrique d’expression :
un = a(\frac{b}{(b+c})^n et de premier terme u0= a, on déduit que fn(x)= unx² + b.
On peut aussi poser (vn) la suite d’expression :
vn=2\sqrt{|\frac{b}{u_n}|}avec v0= 2\sqrt{|\frac{b}{a}| },
ce qui permet de trouver l’intervalle de définition de fn :[\frac{-{v}_n}{2} ;  \frac{{v}_{n+1}}{2}]
Pour finir, on peut utiliser une troisième suite pour simplifier
l’écriture des coordonnées de l’origine on du repère de la parabole sur la marche d’indice n : (wn) avec wn =vn + wn-1 et par conséquent les coordonnées de on dans le repère d’origine sont ( wn ; -nc).

Vous avez maintenant toutes les informations utiles pour réaliser le fichier géospace, n’oubliez pas qu’en pilotant le paramètre n, vous verrez la parabole descendre l’escalier...


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Lycée Jules-Hardouin Mansart de Saint Cyr L’Ecole (académie de Versailles)
Directeur de publication : Christine Joureau